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（2003·厦门）高30厘米的圆柱形蒸汽锅，它的底面直径是20厘米，如果蒸汽锅内每平方厘米所受的蒸汽压力是15牛顿，那么这个蒸汽锅内部表面所受的蒸汽压力是12000π12000π牛顿．
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（2003·大连）问题：要将一块直径为2m的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．
操作：
方案一：在图1中，设计一个圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）；
方案二：在图2中，设计一个圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画示意图）．
探究：
（1）求方案一中圆锥底面的半径；
（2）求方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明． - （1998·杭州）已知圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，求圆柱的侧面积．
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（2010·邢台一模）如图所示，一圆柱高AB为5cm，BC是底面直径，设底面半径长度为acm，求点P从A点出发沿圆柱表面移动到点C的最短路线．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种方案：
图1是方案一的示意图，该方案中的移动路线的长度为l1，则l1=5+2a（cm）；
图2是方案二的示意图，设l2是把圆柱沿AB侧面展开的线段AC的长度，则l2=25+π2a2 cm（保留π）．25+π2a2
计算探究
①当a=3时，比较大小：l1＞＞l2（填“＞”“=”或“＜”）；
②当a=4时，比较大小：l1＜＜l2（填“＞”“=”或“＜”）；
延伸拓展
在一般情况下，设圆柱的底面半径为rcm．高为hcm．
①若l12=l22，求h与r之间的关系；
②假定r取定值，那么h取何值时，l1＜l2？
③假定r取定值，那么h取何值时，l1＞l2？ -
（2009·鼓楼区二模）研究课题：蚂蚁怎样爬最近？
研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为AC1=
=AC2+CC12
=5102+52
cm．这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题．5
研究实践：（1）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为234 2．34
（2）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长．
（3）如图5，没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．
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小明在上物理实验课时，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据示意图中所给信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球后，量筒中水面升高22cm；
（2）求放入小球后，量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）若往量筒中继续放入小球，量筒中的水就会溢出．问：量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ -
如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB=7cm，BC=CD=4cm，以AB所在直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求它的全面积．
- 一个圆柱形容器的内半径为10厘米，里面盛有一定高度的水，将一个长25厘米，宽6厘米的长方体金属块完全淹没，结果容器内的水升高了4厘米（没有溢出），问这个金属块的高是多少厘米？（π的取值3）
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现有一块块直径为2m的圆形铁片，若它做成一个有盖的油桶，并尽可能的用好这块铁片，工人师傅在圆形铁片上截取两个圆（即两底）和一个矩形（侧面），如图．
（1）若把BC作为油桶的高时，则油桶的底面半径R1等于多少？
（2）当把AB作为油桶的高时，油桶的底面半径R2与（1）中的R1相等吗？若相等，请说明理由；若不相等，请求出R2． -
课堂上，师生一起探究知，可以用己知半径的球去测量圆柱形管子的内径．小明回家后把半径为5cm的小皮球置于保温杯口上，经过思考找到了测量方法，并画出了草图（如图）．请你根据图中的数据，帮助小明计算出保温杯的内径．