数学

探究题：
数学问题：各边长都是整数，最大边长为21的三角形有多少个？
为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学模型：
数学模型：在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同取法？
为找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
（1）在1～4这4个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于4，有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3，而1+4与4+1，2+3与3+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有

种不同的取法．
（2）在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5，5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5与5+1，2+4与4+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有

种不同的取法．
（3）在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？
根据题意，有下列取法：1+6，2+5，2+6，3+4，3+5，3+6，4+3，4+5，4+6，5+2，5+3，5+4，5+6，6+1，6+2，6+3，6+4，6+5，而1+6与6+1，2+5与5+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有

种不同的取法．
（4）在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，有多少种取法？
根据题意，有下列取法：1+7，2+6，2+7，3+5，3+6，3+7，4+5，4+6，4+7，5+3，5+4，5+6，5+7，6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7+4，7+5，7+6，而1+7与7+1，2+6与6+2，…是同一种取法，所以上述每一种取法都重复过一次，因此共有

种不同的取法…
问题解决
仿照上述研究问题的方法，解决上述数学模型和提出的问题
（1）在1～21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，共有

种不同取法；（只填结果）
（2）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个数，使得所取的两个数字之和大于n，共有

种不同取法；（只填最简算式）
（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个数，使得所取的两个数之和大于n，共有

种不同取法；（只填最简算式）
（4）各边长都是整数且不相等，最大边长为21的三角形有多少个？（写出最简算式和结果，不写分析过程）

观察下列各式：
A₁=5×1-3=2
A₂=5×2-3=7
A₃=5×3-3=12
A₄=5×4-3=17
…
（1）根据以上规律，猜测计算A_n=

；
（2）当n=100时，A₁₀₀=

观察下列算式：
①1×3-2²=3-4=-1；
②2×4-3²=8-9=-1；
③3×5-4²=15-16=-1；
④

4×6-5²=24-25=-1

4×6-5²=24-25=-1

．
…
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来．

青果学院

如图，一个数表有7行7列，设a_ij表示第i行第j列上的数（其中i=1，2，3，…，7，j=1，2，3，…，7）．例如：第5行第3列上的数a₅₃=7．则
（1）（a₂₃-a₂₂）+（a₅₂-a₅₃）=

；
（2）此数表中的四个数a_np，a_nk，a_mp，a_mk满足（a_np-a_nk）+（a_mk-a_mp）=

根据“二十四点”游戏规则，3，4，-6，10每个数用且只能用一次，用有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）写出两个不同的算式使其结果等于24．例如，对于1，2，3，4可作运算：（1+2+3）×4=24（注意上述运算与4×（2+3+1）应视作相同方法的运算．

观察下列等式：
3²-1²=4×2
4²-2²=4×3
5²-3²=4×4
…
你发现有什么规律请用含有n（n≥1的整数）的等式表示你发现的规律，并写出第12个等式．

将连续的奇数1、3、5、7…排成如图所示的数阵：
（1）如图，十字框中五个数的和与框正中心的数17有什么关系？
（2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；
（3）十字框中五个数的和能等于2007吗？若能，请写出这五个

青果学院

数；若不能，请说明理由．

若干个偶数按每行8个数排成图①和形式．

青果学院

（1）在图①中方框内的9个数的和与中间的数有什么关系？
（2）二华所画图②的斜框内9个数的和为36他，则斜框的中间一个数是

；
（3）二明也画了一个斜框，斜框内9个数的和为27他，则斜框内的各个数分别是

1四，16，18
28，3他，32
四2，四四，四6

1四，16，18
28，3他，32
四2，四四，四6

有一列数：第一个数x₁=1，第二个数x₂=3，第三个数开始依次记为x₃、x₄、…，从第二个数开始，每个数是它相邻两数和的一半．
（1）则第三、四、五个数分别为

；
（2）推测x₁₀=

；
（3）猜想第n个数x_n=

观察下列各式：
-1×

-

-

…
（1）你能探索出什么规律？（用文字或表达式）
（2）试运用你发现的规律计算：
（-1×

131