试题

在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC+BE．

证明：∵BE和CF是高，

AC

AB

=

FC

BE

=

AF

AE

∴△AFC∽△ABE，
∵AB＞AC∴

AC

AB

＜1，

AF

AC

＜1，AF＜AE
∴（AC）²-（CF）²＜（AB）²-（BE）²即（AC）²+（BE）²＜（AB）²+（CF）²，
∵AC×BE=AB×CF
∴（AC）²+2 AC×BE+（BE）²≤（AB）²+2AB×CF+（CF）²，
∴（AC+BE）²≤（AB+CF）²，
∴AC+BE≤AB+CF，即证明之．
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证明：∵BE和CF是高，

AC

AB

=

FC

BE

=

AF

AE

∴△AFC∽△ABE，
∵AB＞AC∴

AC

AB

＜1，

AF

AC

＜1，AF＜AE
∴（AC）²-（CF）²＜（AB）²-（BE）²即（AC）²+（BE）²＜（AB）²+（CF）²，
∵AC×BE=AB×CF
∴（AC）²+2 AC×BE+（BE）²≤（AB）²+2AB×CF+（CF）²，
∴（AC+BE）²≤（AB+CF）²，
∴AC+BE≤AB+CF，即证明之．
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