试题

如图，在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中点．把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．在下列结论：
①EF平分∠OED；②BD=

1

2

AB；③EF∥BC；④BD=EF
请填上你认为正确的结论的序号；并选其中一个加以证明．

解：∵在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中点，
∴∠OBC=

1

2

ABC=45°，
由折叠的性质可得：∠AED=∠ABD=90°，∠FED=∠FBD=45°，
∴∠AEF=∠AED-∠FED=45°，
∴∠AEF=∠FED，
即EF平分∠OED；
故①正确；
∵BD=ED，
在Rt△DEC中，∠C=45°，
∴CD=

2

DE，
∴CD=

2

BD，
∵BC=AB，
∴BD=

1

2 +1

BC=（

2

-1）AB，
故②错误；
∵∠AEF=∠C=45°，
∴EF∥BC；
故③错误；
∵∠EDC=90°-∠C=45°，
∴∠EDC=∠OBC=45°，
∴DE∥OB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BD=EF．
故④正确．
故答案为：①③④．

证明：①在Rt△ABC中，AB=CB，O是AC的中点，
∴∠OBC=

1

2

ABC=45°，
由折叠的性质可得：∠AED=∠ABD=90°，∠FED=∠FBD=45°，
∴∠AEF=∠AED-∠FED=45°，
∴∠AEF=∠FED，
即EF平分∠OED．