试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠ADC=30°，将△ADC沿AD折叠，使C点落在C′的位置，若BC=4，求BC′的长．
答案
青果学院解：连接CC′，
∵将△ADC沿AD折叠，使C点落在C′的位置，∠ADC=30°，
∴∠ADC′=∠ADC=30°，CD=C′D，
∴∠CDC′=∠ADC+∠ADC′=60°，
∴△DCC′是等边三角形，
∴∠DC′C=60°，
∵在△ABC中，AD是BC边的中线，
即BD=CD，
∴C′D=BD，
∴∠DBC′=∠DC′B=
1
2
∠CDC′=30°，
∴∠BC′C=∠DC′B+∠DC′C=90°，
∵BC=4，
∴BC′=BC·cos∠DBC′=4×
3
2
=2
3
．
青果学院解：连接CC′，
∵将△ADC沿AD折叠，使C点落在C′的位置，∠ADC=30°，
∴∠ADC′=∠ADC=30°，CD=C′D，
∴∠CDC′=∠ADC+∠ADC′=60°，
∴△DCC′是等边三角形，
∴∠DC′C=60°，
∵在△ABC中，AD是BC边的中线，
即BD=CD，
∴C′D=BD，
∴∠DBC′=∠DC′B=
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∠CDC′=30°，
∴∠BC′C=∠DC′B+∠DC′C=90°，
∵BC=4，
∴BC′=BC·cos∠DBC′=4×
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=2
3
．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）．
首先连接CC′，由将△ADC沿AD折叠，使C点落在C′的位置，根据折叠的性质，易得△DCC′是等边三角形，又由在△ABC中，AD是BC边的中线，易求得∠DBC′=∠DC′B=
1
2
∠CDC′=30°，继而可得∠BC′C=90°，又由BC=4，即可求得BC′的长．
此题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
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