试题

如图，矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D落在点B处，点E、F分别是边AD、BC与MN的交点，Q是MM与对角线BD的交点，P是对角线BD上任意一点，PH⊥BE于H，PG⊥AD于G．
（1）不添加辅助线，找出图中的全等三角形；（至少找出两组，不要求证明）
（2）请你猜想PH、PG、AB它们之间有什么关系？并证明你的结论．

解：（1）△ABD≌△CDB、△BEQ≌△DEQ
△BEQ≌△BFQ、△DEQ≌△BFQ
说明：找出一组得（2分）．

（2）PH+PG=AB；
解法1：连接PE
由（1）可知，△BEQ≌△DEQ，∴BE=DE
∵S_△BDE=S_△BEP+S_△DEP
又∵AB⊥DE，PH⊥BE，PG⊥DE
∴

1

2

DE·AB=

1

2

BE·PH+

1

2

DE·PG
∴PH+PG=AB．

解法2：延长GP交BC于点I，则GI=AB，
∵四边形ABCD是矩形，PG⊥AD
∴AD∥BC
即

1

2

DE·AB=

1

2

DE·PH+

1

2

DE·PG
∴∠PBI=∠PDG，∠DGP=∠PIB=90°
由（1）知：△BEQ≌△DEQ
∴∠EBP=∠PDE，
∴∠HBP=∠PBI
∵PH⊥BE
∴∠PHB=∠PIB=90°
∵PB=PB
∴△PHB≌△PIB（AAS）
∴PI=PH
∴GI=GP+PI=GP+PH=AB．
解：（1）△ABD≌△CDB、△BEQ≌△DEQ
△BEQ≌△BFQ、△DEQ≌△BFQ
说明：找出一组得（2分）．

（2）PH+PG=AB；
解法1：连接PE
由（1）可知，△BEQ≌△DEQ，∴BE=DE
∵S_△BDE=S_△BEP+S_△DEP
又∵AB⊥DE，PH⊥BE，PG⊥DE
∴

1

2

DE·AB=

1

2

BE·PH+

1

2

DE·PG
∴PH+PG=AB．

解法2：延长GP交BC于点I，则GI=AB，
∵四边形ABCD是矩形，PG⊥AD
∴AD∥BC
即

1

2

DE·AB=

1

2

DE·PH+

1

2

DE·PG
∴∠PBI=∠PDG，∠DGP=∠PIB=90°
由（1）知：△BEQ≌△DEQ
∴∠EBP=∠PDE，
∴∠HBP=∠PBI
∵PH⊥BE
∴∠PHB=∠PIB=90°
∵PB=PB
∴△PHB≌△PIB（AAS）
∴PI=PH
∴GI=GP+PI=GP+PH=AB．