试题

（2013·齐齐哈尔）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（x₁，0）、（2，0），且-2＜x₁＜-1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：①abc＜0；②b²＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是（　　）
A．①②
B．②③
C．①②④
D．①②③④

C
解：如图，
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（x₁，0）、（2，0），且-2＜x₁＜-1，与y轴正半轴相交，
∴a＜0，c＞0，对称轴在y轴右侧，即x=-

b

2a

＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，即b²＞4ac，所以②正确；
当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0，
∴2a+b+

c

2

=0，
∵0＜c＜2，
∴2a+b+1＞0，所以③错误；
∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（x₁，0）、（2，0），
∴方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，2，
∴2x₁=

c

a

，即x₁=

c

2a

，
而-2＜x₁＜-1，
∴-2＜

c

2a

＜-1，
∵a＜0，
∴-4a＞c＞-2a，
∴2a+c＞0，所以④正确．
故选C．