试题

如图，矩形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，连接BE，DE，BF，DF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）求证：CD²+3DE²是定值．

证明：（1）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形BEDF是平行四边形．

（2）设AD=b，CD=a，AC=c，
过E作EM⊥AD于M，
∵EM⊥AD，∠ADC=90°，
∴EM∥CD，
∴

EM

CD

=

AE

AC

=

1

3

，
∴EM=

1

3

CD=

1

3

a，DM=

2

3

AD=

2

3

b，
由勾股定理得：DE²=EM²+DM²=

1

9

a²+

4

9

b²，CD²=AC²-AD²=c²-b²，
∴CD²+3DE²=c²-b²+

1

3

a²+

4

3

b²=c²+

1

3

（a²+b²）=c²+

1

3

c²=

4

3

AC²，
∴CD²+3DE²是定值．
证明：（1）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形BEDF是平行四边形．

（2）设AD=b，CD=a，AC=c，
过E作EM⊥AD于M，
∵EM⊥AD，∠ADC=90°，
∴EM∥CD，
∴

EM

CD

=

AE

AC

=

1

3

，
∴EM=

1

3

CD=

1

3

a，DM=

2

3

AD=

2

3

b，
由勾股定理得：DE²=EM²+DM²=

1

9

a²+

4

9

b²，CD²=AC²-AD²=c²-b²，
∴CD²+3DE²=c²-b²+

1

3

a²+

4

3

b²=c²+

1

3

（a²+b²）=c²+

1

3

c²=

4

3

AC²，
∴CD²+3DE²是定值．