试题

（2010·黄浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD交于点O，M、N分别为OB、OC的中点，又∠ACB=∠DBC．
（1）求证：AB=CD；
（2）若AD=

1

2

BC、求证：四边形ADNM为矩形．

证明：（1）∵∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，（2分）
∵AD∥BC，
∴

OA

OC

=

OD

OB

，即OA=OD（2分）
∴AC=BD，（1分）
∴梯形ABCD为等腰梯形，即AB=CD；（1分）

（2）∵M、N分别为OB、OC的中点，
∴MN∥BC，MN=

1

2

BC，
∵AD=

1

2

BC，AD∥BC，
∴MN∥AD，MN=AD，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴ON=OA，MO=DO，
又OA=OD，（2分）
∴ON=OA=MO=DO，
∴四边形ADNM为矩形．（1分）
证明：（1）∵∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，（2分）
∵AD∥BC，
∴

OA

OC

=

OD

OB

，即OA=OD（2分）
∴AC=BD，（1分）
∴梯形ABCD为等腰梯形，即AB=CD；（1分）

（2）∵M、N分别为OB、OC的中点，
∴MN∥BC，MN=

1

2

BC，
∵AD=

1

2

BC，AD∥BC，
∴MN∥AD，MN=AD，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴ON=OA，MO=DO，
又OA=OD，（2分）
∴ON=OA=MO=DO，
∴四边形ADNM为矩形．（1分）