试题

题目：
已知△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且
AD
BD
=
AE
CE
=n，CD交BE于O，连AO并延长交BC青果学院于F．
（1）当n=
1
2
时，求
AO
OF
的值；
（2）当n=1时，求证：BF=CF；
（3）当n=
1
2
1
2
时，O为AF中点．
答案
1
2

青果学院解：（1）连接DE交AF于K，
∵
AD
BD
=
AE
CE
=
1
2
，
∴DE∥BC，
∴
AK
KF
=
AD
BD
=
1
2
，
OK
OF
=
DE
BC
=
AD
AB
= 
1
3
，
∴设OK=a，则OF=3a，
∴KF=4a，
∴AK=2a，
∴OA=AK+OK=3a，
∴
AO
OF
=1；

（2）∵n=1时，AD=BD，AE=CE，
∴O是△ABC的重心，
∴AF是△ABC的中线，
∴BF=CF；

（3）∵
AD
BD
=
AE
CE
=
1
2
，
∴DE∥BC，
∴
AK
KF
=
AD
BD
=
1
2
，
OK
OF
=
DE
BC
=
AD
AB
= 
1
3
，
∴设OK=a，则OF=3a，
∴KF=4a，
∴AK=2a，
∴OA=AK+OK=3a，
∴
AO
OF
=1，
∴当n=
1
2
时，O为AF中点．
故答案为：
1
2
．
考点梳理
平行线分线段成比例．
（1）连接DE交AF于K，根据平行线分线段成比例定理，即可证得DE∥BC，继而可得
AK
KF
=
AD
BD
=
1
2
，
OK
OF
=
DE
BC
=
AD
AB
= 
1
3
，根据比例的性质，即可求得
AO
OF
的值；
（2）由n=1时，AD=BD，AE=CE，可得O是△ABC的重心，继而可得BF=CF；
（3）根据（1）的证明方法，即可求得答案．
此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用与辅助线的作法．
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