试题

题目：
在正方形ABCD中，M为AD中点，N为CD中点，试求tan∠MBN的值．
答案
青果学院解：如图，作MH⊥BN于H，连接MN，
设E为MN的中点，则在Rt△MNH中，EH=
1
2
MN=EN，
在等腰△BNM和等腰△ENH中，
∵底角∠BNM=∠ENH，
∴△BNM∽△ENH，
∴
BN
MN
=
EN
NH
，
即NH=
MN．EN
BN
．①
∴AD=1，BN=
12+(
1
2
)2
=
5
2
，MN=
(
1
2
)2+(
1
2
)2
=
2
2
，EN=
2
4
．
代入①式，得NH=
5
10
，
∴BH=BN-NH=
5
2
-
5
10
=
2
5
5
．
MH=
MN2-NH2
=
3
5
10
，
∴tan∠MBN=
MH
BH
=
3
5
10
2
5
5
=
3
4
．
青果学院解：如图，作MH⊥BN于H，连接MN，
设E为MN的中点，则在Rt△MNH中，EH=
1
2
MN=EN，
在等腰△BNM和等腰△ENH中，
∵底角∠BNM=∠ENH，
∴△BNM∽△ENH，
∴
BN
MN
=
EN
NH
，
即NH=
MN．EN
BN
．①
∴AD=1，BN=
12+(
1
2
)2
=
5
2
，MN=
(
1
2
)2+(
1
2
)2
=
2
2
，EN=
2
4
．
代入①式，得NH=
5
10
，
∴BH=BN-NH=
5
2
-
5
10
=
2
5
5
．
MH=
MN2-NH2
=
3
5
10
，
∴tan∠MBN=
MH
BH
=
3
5
10
2
5
5
=
3
4
．
考点梳理
正方形的性质；解直角三角形．
作MH⊥BN于H，连接MN，设E为MN的中点，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质和解直角三角形．
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