试题

已知△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．且2b=a+c，延长CA到D，使AD=AB，连接BD
（1）求证：2∠D=∠BAC；
（2）求tan

1

2

∠BAC·tan

1

2

∠BCA之值．

（1）证明：∵AD=AB，∴∠ABD=∠D，
∵∠BAC=∠ABD+∠D，
∴∠BAC=2∠D，
即2∠D=∠BAC；

（2）过点B做BE⊥AC于E，作∠C的平分线交BE于F，
设AE=x，
在RtABE和RtCBE中
BE²=AB²-AE²
BE²=BC²-CE²
AB²-AE²=BC²-CE²
c²-x²=a²-（b-x）²
c²=a²-b²+2bx
x=

c2+b2-a2

2b

，
x=

(c+a)(c-a)+b2

2b

，
∵2b=c+a，
∴AE=x=

5c-3a

4

，
CE=b-x=

c+a

2

-

5c-3a

4

=

5a-3c

4

，
又BE²=BC²-CE²
则BE²=

30ac-9a2-9c2

16

DE=c+x=

9c-3a

4

，
∠D=

1

2

∠BAC（已证）
∵tan

1

2

∠BAC·tan

1

2

∠BCA=

BE

DE

·

EF

EC

，
∴在RtCEB中，根据角平分线的性质

BC

CE

=

BF

EF

，

BF

EF

=

a

5a-3c 4

=

4a

5a-3c

，

BF+EF

EF

=

9a-3c

5a-3c

，

BE

EF

=

9a-3c

5a-3c

，
EF=

5a-3c

9a-3c

BE，
∴tan

1

2

∠BAC·tan

1

2

∠BCA=

BE

DE

·

EF

EC

=

BE·EF

DE·EC

=

5a-3c 9a-3c · 30ac-9a2-9c2 16

9c-3a 4 · 5a-3c 4

=

30ac- 9a2-9c2

(9a-3c)(9c-3a)

=

-3(a-3c)(3a-c)

-9(3a-c)(a-3c)

=

1

3

．
（1）证明：∵AD=AB，∴∠ABD=∠D，
∵∠BAC=∠ABD+∠D，
∴∠BAC=2∠D，
即2∠D=∠BAC；

（2）过点B做BE⊥AC于E，作∠C的平分线交BE于F，
设AE=x，
在RtABE和RtCBE中
BE²=AB²-AE²
BE²=BC²-CE²
AB²-AE²=BC²-CE²
c²-x²=a²-（b-x）²
c²=a²-b²+2bx
x=

c2+b2-a2

2b

，
x=

(c+a)(c-a)+b2

2b

，
∵2b=c+a，
∴AE=x=

5c-3a

4

，
CE=b-x=

c+a

2

-

5c-3a

4

=

5a-3c

4

，
又BE²=BC²-CE²
则BE²=

30ac-9a2-9c2

16

DE=c+x=

9c-3a

4

，
∠D=

1

2

∠BAC（已证）
∵tan

1

2

∠BAC·tan

1

2

∠BCA=

BE

DE

·

EF

EC

，
∴在RtCEB中，根据角平分线的性质

BC

CE

=

BF

EF

，

BF

EF

=

a

5a-3c 4

=

4a

5a-3c

，

BF+EF

EF

=

9a-3c

5a-3c

，

BE

EF

=

9a-3c

5a-3c

，
EF=

5a-3c

9a-3c

BE，
∴tan

1

2

∠BAC·tan

1

2

∠BCA=

BE

DE

·

EF

EC

=

BE·EF

DE·EC

=

5a-3c 9a-3c · 30ac-9a2-9c2 16

9c-3a 4 · 5a-3c 4

=

30ac- 9a2-9c2

(9a-3c)(9c-3a)

=

-3(a-3c)(3a-c)

-9(3a-c)(a-3c)

=

1

3

．