试题

题目：
如图所示，根据提供的数据回答下列问题．
青果学院
（1）在图①中，sinA=
4
5
4
5
，cosA=
3
5
3
5
，sin2A+cos2A=
1
1
；
在图②中，sinA1=
4
5
4
5
，cosA1=
3
5
3
5
，sin2A1+cos2A1=
1
1
；
在图③中，sinA2=
12
13
12
13
，cosA2=
5
13
5
13
，sin2A2+cos2A2=
1
1
．
通过以上三个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来并加以证明．
（2）在图①中，tanA=
4
3
4
3
，
sin A
cos A
=
4
3
4
3
；
在图②中，tanA1=
4
3
4
3
，
sin A1
cos A1
=
4
3
4
3
；
在图③中，tanA2=
12
5
12
5
，
sin A2
cos A2
=
12
5
12
5
．
通过以上三个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子表示你发现的规律并加以证明．
答案
4
5

3
5

1

4
5

3
5

1

12
13

5
13

1

4
3

4
3

4
3

4
3

12
5

12
5

sin2A+cos2A=1，tanA=
sinA
cosA
，
证明：∵如图①，sinA=
BC
AB
，cosA=
AC
AB
，tanA=
BC
AC
，
∴sin2A+cos2A=（
BC
AB
）2+（
AC
AB
）2
=
BC2
AB2
+
AC2
AB2

=
BC2+AC2
AB2

=
AB2
AB2

=1，
即sin2A+cos2A=1；
sinA
cosA
=
BC
AB
AC
AB
=
BC
AC
，
∵tanA=
BC
AC
，
∴tanA=
sinA
cosA

即sin2A+cos2A=1；
故答案为：
4
5
，
3
5
，1，
12
13
，
5
13
，1，
4
3
，
4
3
，
4
3
，
4
3
，
12
5
，
12
5
．
考点梳理
解直角三角形．
根据sinA=
BC
AB
，cosA=
AC
AB
，tanA=
BC
AC
，推出sin2A+cos2A=1，求出
sinA
cosA
=
BC
AC
，即可求出tanA=
sinA
cosA
．
本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=
BC
AB
，cosA=
AC
AB
，tanA=
BC
AC
．
规律型．
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