试题

（2012·丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=

3

，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．
（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是；
（2）若射线EF经过点C，则AE的长是．

解：（1）如图1，过E点作EG⊥DF，
∵E是AB的中点，
∴DG=3，
∴EG=AD=

3

，
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°=

GF

3

，
解得GF=3，
∴DF=6；


（2）如图2所示：
过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CM⊥AB于M，则BH=AD=MF=

3

，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=BM=

BH

tan60°

=

3

3

=1，
设AE=x，则BE=6-x，
在Rt△EFM中，EF=

(EB+BM)2+MF2

=

(6-x+1)2+( 3 )2

=

(7-x)2+3

，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，即△EDF∽△BFE
∴

DF

EF

=

EF

BE

，
∴EF²=DF·BE，即（7-x）²+3=7（6-x）
解得x=2或5
故答案为：2或5．