试题

题目：
青果学院已知，如图，在△ABC中，∠A=105°，∠B=30°，BC=2+2
3
，求△ABC的面积．
答案
青果学院解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵∠BAC=105°，∠B=30°，
∴∠C=45°，
∴在Rt△ACD中，AD=CD，
在Rt△ABD中，BD=
3
AD，
∵BC=BD+CD=2+2
3
，AD=CD，
∴
3
AD+AD=2+2
3
，
∴AD=2，
∴S△ABC=
1
2
BC·AD=
1
2
×（2+2
3
）×2=2+2
3
．
青果学院解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵∠BAC=105°，∠B=30°，
∴∠C=45°，
∴在Rt△ACD中，AD=CD，
在Rt△ABD中，BD=
3
AD，
∵BC=BD+CD=2+2
3
，AD=CD，
∴
3
AD+AD=2+2
3
，
∴AD=2，
∴S△ABC=
1
2
BC·AD=
1
2
×（2+2
3
）×2=2+2
3
．
考点梳理
解直角三角形．
过点A作AD⊥BC于D，求出∠C=45°，然后用AD表示出BD、CD，再根据BC的长度列式求出AD，然后利用三角形的面积列式计算即可得解．
本题考查了解直角三角形，作辅助线构造出两个含有特殊角的直角三角形并列式求出AD的长度是解题的关键，也是本题的难点．
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