试题

题目：
青果学院（2001·金华）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC上，∠ADC=60°，在AD上取点E，使AE：ED=2：1，过点E作EF∥BC，交AB于F，连接CF，交AD于P，那么
S△EFP
S△DCP
=
（16-4
3
）：9
（16-4
3
）：9
．
答案
（16-4
3
）：9

解：∵∠ADC=60°，∠B=45°，
∴CD=ACcot60°=
3
3
AC，BC=AC，BD=BC-CD=AC-
3
3
AC．
∴BD：CD=（
3
-1）：1，
∴BD=（
3
-1）CD．
∵EF∥BC，
∴△EFP∽△DCP，
∴AE：ED=2：1，
∴AE：AD=EF：BD=2：3，
∴EF：CD=（2
3
-2）：3．
∴
S△EFP
S△DCP
=（2
3
-2）2：32=（16-8
3
）：9．
故答案为：（16-8
3
）：9．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
根据已知及余切的性质求得各边之间的关系，由平行线可证明△EFP和△DCP，进而求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，从而得到答案．
本题利用了余切的概念，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的性质求解．
压轴题．
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