试题

题目：
青果学院（2013·杭州一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，E为DC中点，tan∠C=
4
3
．则AE的长度为
65
2
65
2
．
答案
65
2

青果学院解：过点E作BC的垂线交BC于点F，交AD的延长线于点M，
∵AD∥BC，E是DC的中点，
∴∠M=∠MFC，DE=CE；
在△MDE和△FCE中，
∠M=∠MFC
∠DEM=∠CEF
DE=CE
，
∴△MDE≌△FCE，
∴EF=ME，DM=CF．
∵AD=2，BC=5，
∴DM=CF=
3
2
，
在Rt△FCE中，tan∠C=
4
3
=
EF
CF
，
∴EF=ME=2，
在Rt△AME中，AE=
22+(2+
3
2
)2
=
65
2
．
故答案为：
65
2
．
考点梳理
直角梯形；勾股定理；梯形中位线定理；解直角三角形．
先过E作BC的垂线，交BC于F，交AD延长线于M，根据AAS证明△MDE≌△FCE，得出EF=ME，DM=CF，可求得DM的长，再通过解直角三角形可求得MF的长，最后利用勾股定理求得AE的长．
此题考查了直角梯形，用到的知识点是直角三角形的性质、全等三角形的判定及勾股定理等，是一道考查学生综合能力的好题，本题的解题关键是作出辅助线，证出△MDE≌△FCE．
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