试题

题目：
已知，Rt△ABC中的两个直角边a，b分别是关于x的方程x2-
2
x+k=0的两个实数根，且sinA+sinB=
2
，求k值及∠A的大小．
答案
解：由题意知a+b=
2
，ab=k．
∵sinA+sinB=
2
．
∴
a
c
+
b
c
=
2
，
a+b
a2+b2
=
2
．
∴
a+b
(a+b)2-ab
=
2
(
2
)2-2k
=
2
．
解得k=
1
2
．
代入原方程得x2-.
2
x+
1
2
=0．
∵△=2-2=0．
∴a=b=
2
2
．
所以∠A=45°．
解：由题意知a+b=
2
，ab=k．
∵sinA+sinB=
2
．
∴
a
c
+
b
c
=
2
，
a+b
a2+b2
=
2
．
∴
a+b
(a+b)2-ab
=
2
(
2
)2-2k
=
2
．
解得k=
1
2
．
代入原方程得x2-.
2
x+
1
2
=0．
∵△=2-2=0．
∴a=b=
2
2
．
所以∠A=45°．
考点梳理
根与系数的关系；根的判别式；解直角三角形．
根据勾股定理将sinA+sinB=
2
转化为关于a，b的方程，在用根与系数的关系转化为关于k的方程，求出k的值并检验，由根的判别式知两直角边a=b，得出∠A的大小．
（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0·方程有两个不相等的实数根；
②△=0·方程有两个相等的实数根；
③△＜0·方程没有实数根．
（2）一元二次方程根与系数的关系：xl+x2=-
b
a
，xl·x2=
c
a
．
（3）在Rt△ABC中，若∠C=90°，则sinA=
a
c
，a2+b2=c2．
计算题．
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