试题

题目：
青果学院如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若tan∠AEH=
4
3
，四边形EFGH的周长为60cm，则矩形ABCD的周长为
84
84
cm．
答案
84

青果学院解；∵连接AC，BD，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=
1
2
BD，FG=
1
2
BD，EF=
1
2
AC，HG=
1
2
AC，
∵ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵四边形EFGH的周长为60cm，
∴EH=15，
∵tan∠AEH=
4
3
，
∴AH=12，AE=9，
∴AD=24，AB=18．
∴矩形ABCD的周长为：（24+18）×2=84cm．
故答案为：84．
考点梳理
矩形的性质；三角形中位线定理；解直角三角形．
首先利用三角形的中位线定理证明EH=
1
2
BD，FG=
1
2
BD，EF=
1
2
AC，HG=
1
2
AC，再根据矩形的性质得到；AC=BD，从而得到四边形EFGH是菱形，再根据菱形的性质求出菱形的边长，进而得到：AE，AH的长度，从而得到答案．
此题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定与性质，解题的关键是根据条件证出四边形EFGH是菱形，得到EH的长度．
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