试题

题目：
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D为BC边上的一点，tan∠AD青果学院C是方程3(x2+
1
x2
)-5(x+
1
x
)=2的一个根，求CD的长．
答案
解：设x+
1
x
=y，原方程可化为3[（x+
1
x
）2-2]-5（x+
1
x
）=2，
即3（y2-2）-5y=2，化简得3y2-5y-8=0，
解得y1=-1，y2=
8
3
，
∵tan∠ADC=
AC
CD
＞1，
∴当x+
1
x
=-1时，
x2+x-1=0，此时方程无解；
当x+
1
x
=
8
3
时，
3x2-8x+3=0，解得x=
4±
7
3
，
∵tan∠ADC=
AC
CD
＞1，
∴tan∠ADC=
AC
CD
=
4+
7
3
，
∵∠A=30°，BC=1，
∴AC=
3
，
∴
AC
CD
=
4+
7
3
，
DC=
4
3
-
21
3
．
解：设x+
1
x
=y，原方程可化为3[（x+
1
x
）2-2]-5（x+
1
x
）=2，
即3（y2-2）-5y=2，化简得3y2-5y-8=0，
解得y1=-1，y2=
8
3
，
∵tan∠ADC=
AC
CD
＞1，
∴当x+
1
x
=-1时，
x2+x-1=0，此时方程无解；
当x+
1
x
=
8
3
时，
3x2-8x+3=0，解得x=
4±
7
3
，
∵tan∠ADC=
AC
CD
＞1，
∴tan∠ADC=
AC
CD
=
4+
7
3
，
∵∠A=30°，BC=1，
∴AC=
3
，
∴
AC
CD
=
4+
7
3
，
DC=
4
3
-
21
3
．
考点梳理
解直角三角形；换元法解分式方程．
先用换元法求方程3(x2+
1
x2
)-5(x+
1
x
)=2的解，根据题意得tan∠ADC＞1，确定tan∠ADC的值，根据角的正切值与三角形边的关系，可求出边CD的长．
本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
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