试题

题目：
青果学院在△ABC中，∠B是锐角，AD是BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB是方程10x2-3x-4=0的一个根．
（1）求线段CD的长；
（2）求tan∠EDC的值．
答案
解：∵10x2-3x-4=0，
∴（2x+1）（5x-4）=0，
解得：x1=-
1
2
（舍去），x2=
4
5
，
∴sinB=
4
5
，
∵AD是BC上的高，
∴
AD
AB
=
4
5
，
∵AD=12，
∴AB=15，
由勾股定理得，BD=
AB2-AD2
=
152-122
=9，
∵BC=14，
∴CD=BC-BD=14-9=5；

（2）∵E为边AC的中点，AD是边BC上的高，
∴AE=EC=DE，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴tan∠EDC=tan∠ECD=
AD
CD
=
12
5
．
解：∵10x2-3x-4=0，
∴（2x+1）（5x-4）=0，
解得：x1=-
1
2
（舍去），x2=
4
5
，
∴sinB=
4
5
，
∵AD是BC上的高，
∴
AD
AB
=
4
5
，
∵AD=12，
∴AB=15，
由勾股定理得，BD=
AB2-AD2
=
152-122
=9，
∵BC=14，
∴CD=BC-BD=14-9=5；

（2）∵E为边AC的中点，AD是边BC上的高，
∴AE=EC=DE，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴tan∠EDC=tan∠ECD=
AD
CD
=
12
5
．
考点梳理
解直角三角形；解一元二次方程-因式分解法；直角三角形斜边上的中线．
（1）首先解方程10x2-3x-4=0，可得sinB=
4
5
，根据∠B的正弦值，即可求出AB的长，然后求得BD，从而得出线段DC的长；
（2）首先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可判定∠EDC=∠ECD，在Rt△ACD中，再求tan∠ECD的值，即tan∠EDC的值．
此题考查了解直角三角形的知识以及一元二次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程，掌握数形结合思想与转化思想的应用．
压轴题．
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