试题

题目：
已知AD是△ABC的中线，∠ABC=30°，∠ADC=45°，则∠ACB=
105
105
度．
答案
105

青果学院解：设AE=x，
过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=∠AEB=90°，
∵∠ADC=45°，
∴∠DAE=180°-90°-45°=45°=∠ADE，
∴AE=DE=x，
∵∠B=30°，
∴AB=2x，
由勾股定理得：BE=
3
x，
∴BD=DC=
3
x-x，
∴CE=x-（
3
x-x）=（2-
3
）x，
∵tan∠ACE=
AE
CE
=
x
(2-
3
)x
=2+
3
，
∵tan75°=tan（45°+30°）=
tan45°-tan30°
1-tan45°×tan30°
=2+
3

∴∠ACE=75°，
则∠ACB=180°-75°=105°．
故答案为：105°．
考点梳理
解直角三角形；垂线；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理．
设AE=x，过A作AE⊥BC于E，根据三角形内角和定理求出∠DAE=45°，求出DE、BE、BD、DC、CE的长，根据锐角三角函数求出tan∠ACB即可．
本题主要考查对解直角三角形，三角形的内角和定理，勾股定理，垂线，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能用x表示出一些线段的长度是解此题的关键．
证明题．
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