试题
题目:
(2013·湛江)阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题:
sin30°=
1
2
,cos30°=
3
2
,则sin
2
30°+cos
2
30°=
1
1
;①
sin45°=
2
2
,cos45°=
2
2
,则sin
2
45°+cos
2
45°=
1
1
;②
sin60°=
3
2
,cos60°=
1
2
,则sin
2
60°+cos
2
60°=
1
1
.③
…
观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin
2
A+cos
2
A=
1
1
.④
(1)如图,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想;
(2)已知:∠A为锐角(cosA>0)且sinA=
3
5
,求cosA.
答案
1
1
1
1
解:∵sin30°=
1
2
,cos30°=
3
2
,
∴sin
2
30°+cos
2
30°=(
1
2
)
2
+(
3
2
)
2
=
1
4
+
3
4
=1;①
∵sin45°=
2
2
,cos45°=
2
2
,
∴sin
2
45°+cos
2
45°=(
2
2
)
2
+(
2
2
)
2
=
1
2
+
1
2
=1;②
∵sin60°=
3
2
,cos60°=
1
2
,
∴sin
2
60°+cos
2
60°=(
3
2
)
2
+(
1
2
)
2
=
3
4
+
1
4
=1.③
观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin
2
A+cos
2
A=1.④
(1)如图,过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°.
∵sinA=
BD
AB
,cosA=
AD
AB
,
∴sin
2
A+cos
2
A=(
BD
AB
)
2
+(
AD
AB
)
2
=
B
D
2
+A
D
2
A
B
2
,
∵∠ADB=90°,
∴BD
2
+AD
2
=AB
2
,
∴sin
2
A+cos
2
A=1.
(2)∵sinA=
3
5
,sin
2
A+cos
2
A=1,∠A为锐角,
∴cosA=
1-(
3
5
)
2
=
4
5
.
考点梳理
考点
分析
点评
解直角三角形;勾股定理;同角三角函数的关系.
①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值;
④由前面①②③的结论,即可猜想出:对任意锐角A,都有sin
2
A+cos
2
A=1;
(1)过点B作BD⊥AC于D,则∠ADB=90°.利用锐角三角函数的定义得出sinA=
BD
AB
,cosA=
AD
AB
,则sin
2
A+cos
2
A=
B
D
2
+A
D
2
A
B
2
,再根据勾股定理得到BD
2
+AD
2
=AB
2
,从而证明sin
2
A+cos
2
A=1;
(2)利用关系式sin
2
A+cos
2
A=1,结合已知条件cosA>0且sinA=
3
5
,进行求解.
本题考查了同角三角函数的关系,勾股定理,锐角三角函数的定义,比较简单.
找相似题
(2013·绵阳)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于G,则GH=( )
(2002·甘肃)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分线AD=
16
3
3
,求∠B的度数及边BC、AB的长.
(2002·金华)如图,在△ABC中,AC=15,BC=18,sinC=
4
5
,D是AC上一个动点(不运动至点A,C),过D作DE∥
BC,交AB于E,过D作DF⊥BC,垂足为F,连接BD,设CD=x.
(1)用含x的代数式分别表示DF和BF;
(2)如果梯形EBFD的面积为S,求S关于x的函数关系式;
(3)如果△BDF的面积为S
1
,△BDE的面积为S
2
,那么x为何值时,S
1
=2S
2
.
(2002·上海)如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=
4
5
.
求S
△ABD
:S
△BCD
.
(2002·无锡)已知:如图,四边形ABCD中,AD⊥AB,BC⊥AB,BC=2AD,DE⊥CD交边AB于E,连接CE.
(1)求证:DE
2
=AE·CE;
(2)若△CDE与四边形ABCD的面积之比为2:5,求sin∠BCE的值.