试题

（2012·苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
（2）记△DGP的面积为S₁，△CDG的面积为S₂．试说明S₁-S₂是常数；
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．

解：（1）∵CG∥AP，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠AGP，
∴△GCD∽△APG，
∴

CD

GD

=

PG

AG

，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，
∴GD=3-x，AG=4-x，
∴

1

3-x

=

y

4-x

，即y=

4-x

3-x

，
∴y关于x的函数关系式为y=

4-x

3-x

，
当y=3时，

4-x

3-x

=3，解得x=2.5，
经检验的x=2.5是分式方程的根．
故x的值为2.5；

（2）∵S₁=

1

2

GP·GD=

1

2

·

4-x

3-x

·（3-x）=

4-x

2

（cm²），
S₂=

1

2

GD·CD=

1

2

（3-x）×1=

3-x

2

（cm²），
∴S₁-S₂=

4-x

2

-

3-x

2

=

1

2

（cm²），即为常数；

（3）延长PD交AC于点Q．
∵正方形ABCD中，AC为对角线，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，
∴3-x=

4-x

3-x

，
化简得：x²-5x+5=0．
解得：x=

5± 5

2

，
∵0≤x≤2.5，
∴x=

5- 5

2

，
在Rt△DGP中，PD=

GD

cos45°

=

2

（3-x）=

2 + 10

2

（cm）．
解：（1）∵CG∥AP，
∴∠CGD=∠GAP，
又∵∠CDG=∠AGP，
∴△GCD∽△APG，
∴

CD

GD

=

PG

AG

，
∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，
∴GD=3-x，AG=4-x，
∴

1

3-x

=

y

4-x

，即y=

4-x

3-x

，
∴y关于x的函数关系式为y=

4-x

3-x

，
当y=3时，

4-x

3-x

=3，解得x=2.5，
经检验的x=2.5是分式方程的根．
故x的值为2.5；

（2）∵S₁=

1

2

GP·GD=

1

2

·

4-x

3-x

·（3-x）=

4-x

2

（cm²），
S₂=

1

2

GD·CD=

1

2

（3-x）×1=

3-x

2

（cm²），
∴S₁-S₂=

4-x

2

-

3-x

2

=

1

2

（cm²），即为常数；

（3）延长PD交AC于点Q．
∵正方形ABCD中，AC为对角线，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，
∴3-x=

4-x

3-x

，
化简得：x²-5x+5=0．
解得：x=

5± 5

2

，
∵0≤x≤2.5，
∴x=

5- 5

2

，
在Rt△DGP中，PD=

GD

cos45°

=

2

（3-x）=

2 + 10

2

（cm）．