试题

题目：
（2010·甘井子区模拟）如图1，有一块30°、60°、90°的三角板所对应的点为A、B、C，斜边AB为4个单位长度，且A、B两点分别在x轴、y轴上滑动，记∠BAO=α．（当B点与O点重合时，记α=0°，如图2所示；当A点与O点重合时，记α=90°，如图3所示）．
青果学院
（1）当α=0°时，直接写出点C的坐标
(1， 
3
)
(1， 
3
)
；当α=90°时，直接写出点C的坐标
(
3
， 3)
(
3
， 3)
；
（2）当α=60°时，直接写出点C的坐标
(2， 2
3
)
(2， 2
3
)
；
（3）请从α=15°、α=30°、α=45°、α=75°中任意选两个角度，分别求出点C的坐标；（其中一个写出详细的求解过程，另一个直接写出答案）当α=
15°
15°
时，点C的坐标为
（
2
，
6
）
（
2
，
6
）
；
（4）根据前面的探索，当α为任意锐角时，你认为点C是否会落在某条线段上运动，若存在，请写出这条线段所在直线的函数表达式及自变量的取值范围；若不存在，请说明理由．（参考数据：sin15°=cos75°=
6
-
2
4
，sin75°=cos15°=
6
+
2
4
）
答案
(1， 
3
)

(
3
， 3)

(2， 2
3
)

15°

（
2
，
6
）

解：（1）(1， 
3
)；(
3
， 3)；（2分）

（2）(2， 2
3
)；（3分）

（3）当α=15°时，过C作CD⊥x轴于点D，
在Rt△ABC中，AB=4，∠BAC=30°，∴AC=2
3
．（4分）
在Rt△ACD中，AC=2
3
，∠DAC=45°，∴CD=DA=
6
．（5分）
在Rt△AOB中，AB=4，∠BAO=15°，
∴OA=4·
6
+
2
4
=
6
+
2
．（6分）
∴OD=OA-DA=
2
．∴C(
2
，
6
)；（7分）
同理：当α=30°时，C(
3
，3)；（9分）
当α=45°时，C(
6
+
2
2
，
3
2
+
6
2
)；（9分）
当α=75°时，C(
6
+
2
2
，
3
2
+
6
2
)；（9分）

（4）y=
3
x(1≤x≤
3
)．（11分）
考点梳理
解直角三角形；坐标与图形性质．
根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长．
本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
探究型．
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