试题

题目：
青果学院（2010·宝山区一模）已知△ABC中，AB=
3
，AC=3，D是边AC上一点，且AD：DC=1：2，连接BD．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若sin∠ACB=
1
3
，试画出符合条件的大致图形，并求BD的长度？
答案
解：（1）由AC=3，AD：DC=1：2，
得AD=1，CD=2，
∵∠BAD=∠CAB，
AB
AC
=
3
3
，
AD
AB
=
1
3
=
3
3
，
∴△ABD∽△ACB；

（2）如图①所示，过A点作BC的垂线，交CB的延长线于E点，青果学院
在△ACE中，
∵sin∠ACB=
AE
AC
=
1
3
，AC=3，
∴AE=1，
由勾股定理，得CE=
AC2-AE2
=2
2
，
在Rt△ABE中，AB=
3
，由勾股定理，得BE=
AB2-AE2
=
2
，
∴BC=CE-BE=2
2
-
2
=
2
，
由（1）可知，△ABD∽△ACB，
∴
BD
BC
=
AB
AC
，即BD=
3
× 
2
3
=
6
3
．
如图②所示，过A点作BC的垂线，交CB于E点，
青果学院在△ACE中，
∵sin∠ACB=
AE
AC
=
1
3
，AC=3，
∴AE=1，
由勾股定理，得CE=
AC2-AE2
=2
2
，
在Rt△ABE中，AB=
3
，由勾股定理，得BE=
AB2-AE2
=
2
，
∴BC=CE+BE=2
2
+
2
=3
2
，
由（1）可知，△ABD∽△ACB，
∴
BD
BC
=
AB
AC
，即BD=
6
．
解：（1）由AC=3，AD：DC=1：2，
得AD=1，CD=2，
∵∠BAD=∠CAB，
AB
AC
=
3
3
，
AD
AB
=
1
3
=
3
3
，
∴△ABD∽△ACB；

（2）如图①所示，过A点作BC的垂线，交CB的延长线于E点，青果学院
在△ACE中，
∵sin∠ACB=
AE
AC
=
1
3
，AC=3，
∴AE=1，
由勾股定理，得CE=
AC2-AE2
=2
2
，
在Rt△ABE中，AB=
3
，由勾股定理，得BE=
AB2-AE2
=
2
，
∴BC=CE-BE=2
2
-
2
=
2
，
由（1）可知，△ABD∽△ACB，
∴
BD
BC
=
AB
AC
，即BD=
3
× 
2
3
=
6
3
．
如图②所示，过A点作BC的垂线，交CB于E点，
青果学院在△ACE中，
∵sin∠ACB=
AE
AC
=
1
3
，AC=3，
∴AE=1，
由勾股定理，得CE=
AC2-AE2
=2
2
，
在Rt△ABE中，AB=
3
，由勾股定理，得BE=
AB2-AE2
=
2
，
∴BC=CE+BE=2
2
+
2
=3
2
，
由（1）可知，△ABD∽△ACB，
∴
BD
BC
=
AB
AC
，即BD=
6
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）根据∠BAD=∠CAB，结合线段的比相等证明：△ABD∽△ACB；
（2）画出图象，过A点作BC的垂线，交CB的延长线于E点（或交CB于E），在△ACE中，已知sin∠ACB=
1
3
，AC=3，可求AE，由勾股定理求CE，在Rt△ABE中，AB=
3
，由勾股定理求BE，根据BC=CE-BE或（BC=CE+BE）求BC，再利用（1）中的相似三角形求BD．
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用公共角，线段的比得到相似三角形，再利用相似三角形的性质解题．
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