试题

（2011·西城区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P．
（1）若BD=AC，AE=CD，在如图中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；
（2）若AC=

3

BD，CD=

3

AE，求∠APE的度数．

解：
（1）作EF等于且平行BD，则EP平行FD，
∴∠APE=∠ADF，
∴△ACD≌△AEF，
∴AD=AF，
∴△AFD为等腰直角三角形．
∴∠APE=45°．
答：∠APE的度数为45°．

（2）解法一：如图2，
将AE平移到DF，连接BF，EF．
则四边形AEFD是平行四边形．
∴AD∥EF，AD=EF．
∵AC=

3

BD，CD=

3

AE，
∴

AC

BD

=

3

，

CD

AE

=

CD

DF

=

3

．
∴

AC

BD

=

CD

DF

．
∵∠C=90°，
∴∠BDF=180°-∠C=90°．
∴∠C=∠BDF．
∴△ACD∽△BDF．
∴

AD

BF

=

AC

BD

=

3

，∠1=∠2．
∴

EF

BF

=

AD

BF

=

3

．
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°．
∴BF⊥AD．
∴BF⊥EF．
∴在Rt△BEF中，tan∠BEF=

BF

EF

=

3

3

．
∴∠APE=∠BEF=30°．
解法二：如图3，将CA平移到DF，
连接AF，BF，EF．
则四边形ACDF是平行四边形．
∵∠C=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∠AFD=∠CAF=90°，∠3+∠2=90°．
∵在Rt△AEF中，tan∠4=

AE

AF

=

AE

CD

=

3

3

，
在Rt△BDF中，tan∠2=

BD

DF

=

BD

AC

=

3

3

，
∴∠4=∠2=30°．
∴∠3+∠2=∠4+∠2=90°，即∠EFB=90°．
∴∠AFD=∠EFB．
又∵

DF

BF

=

AF

EF

=

3

2

，
∴△ADF∽△EBF．
∴∠1=∠5．
∵∠APE+∠1=∠4+∠5，
∴∠APE=∠4=30°．
答：∠APE的度数为30°．
解：
（1）作EF等于且平行BD，则EP平行FD，
∴∠APE=∠ADF，
∴△ACD≌△AEF，
∴AD=AF，
∴△AFD为等腰直角三角形．
∴∠APE=45°．
答：∠APE的度数为45°．

（2）解法一：如图2，
将AE平移到DF，连接BF，EF．
则四边形AEFD是平行四边形．
∴AD∥EF，AD=EF．
∵AC=

3

BD，CD=

3

AE，
∴

AC

BD

=

3

，

CD

AE

=

CD

DF

=

3

．
∴

AC

BD

=

CD

DF

．
∵∠C=90°，
∴∠BDF=180°-∠C=90°．
∴∠C=∠BDF．
∴△ACD∽△BDF．
∴

AD

BF

=

AC

BD

=

3

，∠1=∠2．
∴

EF

BF

=

AD

BF

=

3

．
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°．
∴BF⊥AD．
∴BF⊥EF．
∴在Rt△BEF中，tan∠BEF=

BF

EF

=

3

3

．
∴∠APE=∠BEF=30°．
解法二：如图3，将CA平移到DF，
连接AF，BF，EF．
则四边形ACDF是平行四边形．
∵∠C=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∠AFD=∠CAF=90°，∠3+∠2=90°．
∵在Rt△AEF中，tan∠4=

AE

AF

=

AE

CD

=

3

3

，
在Rt△BDF中，tan∠2=

BD

DF

=

BD

AC

=

3

3

，
∴∠4=∠2=30°．
∴∠3+∠2=∠4+∠2=90°，即∠EFB=90°．
∴∠AFD=∠EFB．
又∵

DF

BF

=

AF

EF

=

3

2

，
∴△ADF∽△EBF．
∴∠1=∠5．
∵∠APE+∠1=∠4+∠5，
∴∠APE=∠4=30°．
答：∠APE的度数为30°．