试题

题目：
青果学院（2010·平谷区二模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=10，M是AB的中点，MD⊥DC，D是垂足，sin∠C=
4
5
，求梯形ABCD的面积．
答案
青果学院解：延长DM交CB的延长线于点E，
∵AD∥CE，∴∠ADM=∠E，
∵M是AB的中点，
∴AM=BM，
∵∠AMD=∠BME，
∴△ADM≌△BEM，∴AD=BE．
∵AD+BC=10，
∴EB+BC=10，即CE=10，
∵MD⊥DC，
∴∠CDE=90°，
∵sin∠C=
4
5
，
∴
DE
EC
=
4
5
，∴DE=8．由勾股定理得CD=
CE2-DE2
=
102-82
=6，
∴S梯形ABCD=S△CDE=
1
2
DE·DC=
1
2
×8×6=24．
青果学院解：延长DM交CB的延长线于点E，
∵AD∥CE，∴∠ADM=∠E，
∵M是AB的中点，
∴AM=BM，
∵∠AMD=∠BME，
∴△ADM≌△BEM，∴AD=BE．
∵AD+BC=10，
∴EB+BC=10，即CE=10，
∵MD⊥DC，
∴∠CDE=90°，
∵sin∠C=
4
5
，
∴
DE
EC
=
4
5
，∴DE=8．由勾股定理得CD=
CE2-DE2
=
102-82
=6，
∴S梯形ABCD=S△CDE=
1
2
DE·DC=
1
2
×8×6=24．
考点梳理
梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．
用作辅助线的方法把梯形的上底移到下底上，从而梯形的面积转化成三角形的面积来解决．
本题考查的知识比较全面，需要用到梯形的面积转化成三角形的面积．
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