试题

（2010·鞍山）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12．
∵QB=16-t，
∴S=

1

2

×12×（16-t）=96-6t（0≤t＜16）；

（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ．
在Rt△PMQ中，PQ²=t²+12²，
由PQ²=BQ²得t²+12²=（16-t）²，
解得t=

7

2

；
②若BP=BQ．
在Rt△PMB中，BP²=（16-2t）²+12²．
由BP²=BQ²得：（16-2t）²+12²=（16-t）²
即3t²-32t+144=0．
由于△=-704＜0，
∴3t²-32t+144=0无解，
∴PB≠BQ．
③若PB=PQ．
由PB²=PQ²，得t²+12²=（16-2t）²+12²
整理，得3t²-64t+256=0．
解得t₁=

16

3

，t₂=16（舍去）
综合上面的讨论可知：当t=

7

2

秒或t=

16

3

秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．

（3）如图，由△OAP∽△OBQ，得

AP

BQ

=

AO

OB

=

1

2

．
∵AP=2t-21，BQ=16-t，
∴2（2t-21）=16-t．
∴t=

58

5

．
过点Q作QE⊥AD，垂足为E．
∵PD=2t，ED=QC=t，
∴PE=t．
在Rt△PEQ中，tan∠QPE=

QE

PE

=

12

t

=

30

29

．
又∵AD∥BC，
∴∠BQP=∠QPE，
∴tan∠BQP=

30

29

；

（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD．
如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E．
∵AD∥BC
∴∠BQF=∠EPQ，
又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°，
∴∠BQF=∠BDC，
∴∠BDC=∠EPQ，
又∵∠C=∠PEQ=90°，
∴Rt△BDC∽Rt△QPE，
∴

DC

BC

=

PE

EQ

，即

12

16

=

t

12

．
解得t=9．
所以，当t=9秒时，PQ⊥BD．
解：（1）如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12．
∵QB=16-t，
∴S=

1

2

×12×（16-t）=96-6t（0≤t＜16）；

（2）由图可知：CM=PD=2t，CQ=t．
以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ．
在Rt△PMQ中，PQ²=t²+12²，
由PQ²=BQ²得t²+12²=（16-t）²，
解得t=

7

2

；
②若BP=BQ．
在Rt△PMB中，BP²=（16-2t）²+12²．
由BP²=BQ²得：（16-2t）²+12²=（16-t）²
即3t²-32t+144=0．
由于△=-704＜0，
∴3t²-32t+144=0无解，
∴PB≠BQ．
③若PB=PQ．
由PB²=PQ²，得t²+12²=（16-2t）²+12²
整理，得3t²-64t+256=0．
解得t₁=

16

3

，t₂=16（舍去）
综合上面的讨论可知：当t=

7

2

秒或t=

16

3

秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．

（3）如图，由△OAP∽△OBQ，得

AP

BQ

=

AO

OB

=

1

2

．
∵AP=2t-21，BQ=16-t，
∴2（2t-21）=16-t．
∴t=

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．
过点Q作QE⊥AD，垂足为E．
∵PD=2t，ED=QC=t，
∴PE=t．
在Rt△PEQ中，tan∠QPE=

QE

PE

=

12

t

=

30

29

．
又∵AD∥BC，
∴∠BQP=∠QPE，
∴tan∠BQP=

30

29

；

（4）设存在时刻t，使得PQ⊥BD．
如图，过点Q作QE⊥AD于E，垂足为E．
∵AD∥BC
∴∠BQF=∠EPQ，
又∵在△BFQ和△BCD中∠BFQ=∠C=90°，
∴∠BQF=∠BDC，
∴∠BDC=∠EPQ，
又∵∠C=∠PEQ=90°，
∴Rt△BDC∽Rt△QPE，
∴

DC

BC

=

PE

EQ

，即

12

16

=

t

12

．
解得t=9．
所以，当t=9秒时，PQ⊥BD．