试题

（2008·烟台）如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．

（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD=2，
∴△ABD和△BCD都为正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，
∴DE=CF，
∴△BDE≌△BCF；

（2）解：△BEF为正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF为正三角形；

（3）解：设BE=BF=EF=x，
则S=

1

2

·x·x·sin60°=

3

4

x²，
当BE⊥AD时，x最小=2×sin60°=

3

，
∴S_最小=

3

4

×(

3

)2=

3 3

4

，
当BE与AB重合时，x最大=2，
∴S_最大=

3

4

×2²=

3

，
∴

3 3

4

≤s≤

3

．
（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD=2，
∴△ABD和△BCD都为正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，
∴DE=CF，
∴△BDE≌△BCF；

（2）解：△BEF为正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF为正三角形；

（3）解：设BE=BF=EF=x，
则S=

1

2

·x·x·sin60°=

3

4

x²，
当BE⊥AD时，x最小=2×sin60°=

3

，
∴S_最小=

3

4

×(

3

)2=

3 3

4

，
当BE与AB重合时，x最大=2，
∴S_最大=

3

4

×2²=

3

，
∴

3 3

4

≤s≤

3

．