试题

（2007·厦门）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，BD＞AD，∠A=∠ACD，
（1）若∠A=∠B=30°，BD=

3

，求CB的长；
（2）过D作∠CDB的平分线DF交CB于F，若线段AC沿着AB方向平移，当点A移到点D时，判断线段AC的中点E能否移到DF上，并说明理由．

解：（1）∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∠ACD=30°，
∴∠DCB=90°，
∵BD=

3

，
∴CB=BD·cos30°=

3

2

；

（2）AC的中点E能移到DF上．
∵∠CDB=∠A+∠DCA，∠A=∠DCA，
∴∠CDB=2∠A，又DF平分∠CDB，
∴∠CDF=∠FDB=∠A，
∴DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴

BD

BA

=

DF

AC

，
∵BD＞AD，
∴

BD

BA

=

DF

AC

，＞

1

2

，
∴DF＞

1

2

AC，
过E作EE′∥AD交DF于E′，
则四边形AEE′D为平行四边形，
则DE′=DE，
由于DF＞

1

2

AC=AE=DE′，
所以说E′在线段DF上．
解：（1）∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∠ACD=30°，
∴∠DCB=90°，
∵BD=

3

，
∴CB=BD·cos30°=

3

2

；

（2）AC的中点E能移到DF上．
∵∠CDB=∠A+∠DCA，∠A=∠DCA，
∴∠CDB=2∠A，又DF平分∠CDB，
∴∠CDF=∠FDB=∠A，
∴DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴

BD

BA

=

DF

AC

，
∵BD＞AD，
∴

BD

BA

=

DF

AC

，＞

1

2

，
∴DF＞

1

2

AC，
过E作EE′∥AD交DF于E′，
则四边形AEE′D为平行四边形，
则DE′=DE，
由于DF＞

1

2

AC=AE=DE′，
所以说E′在线段DF上．