试题

（2012·顺义区一模）如图，在·ABCD中，E是对角线AC的中点，EF⊥AD于F，∠B=60°，AB=4，∠ACB=45°，求DF的长．

解：过点C作CM⊥AD于M，
∵在□ABCD中，∠B=60°，AB=4，∠ACB=45°，
∴∠D=60°，CD=AB=4，AD∥BC．  
∴∠DAC=45°．
在Rt△CDM中，CM=CD·sinD=CD·sin60°=2

3

，
DM=CD·cosD=4·cos60°=2，
在Rt△ACM中，
∵∠MAC=45°，
∴AM=CM=2

3

，
∴AD=AM+DM=2

3

+2，
∵EF⊥AD，CM⊥AD，
∴EF∥CM．
∴EF=

1

2

CM=

3

，
在Rt△AEF中，
∵AF=EF=

3

，
∴DF=AD-AF=2

3

+2-

3

=

3

+2．
解：过点C作CM⊥AD于M，
∵在□ABCD中，∠B=60°，AB=4，∠ACB=45°，
∴∠D=60°，CD=AB=4，AD∥BC．  
∴∠DAC=45°．
在Rt△CDM中，CM=CD·sinD=CD·sin60°=2

3

，
DM=CD·cosD=4·cos60°=2，
在Rt△ACM中，
∵∠MAC=45°，
∴AM=CM=2

3

，
∴AD=AM+DM=2

3

+2，
∵EF⊥AD，CM⊥AD，
∴EF∥CM．
∴EF=

1

2

CM=

3

，
在Rt△AEF中，
∵AF=EF=

3

，
∴DF=AD-AF=2

3

+2-

3

=

3

+2．