试题

题目：
（2001·吉林）如图，A、B是直线l上的两点，AB=4厘米，过l外一点C作CD∥l，射线BC与l所成的锐角∠1=60°，线段BC=2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2厘米的速度青果学院沿由C向D的方向运动．设P，Q运动的时间为t（秒），当t＞2时，PA交CD于E．
（1）求△APQ的面积S与t的函数关系式；
（2）QE恰好平分△APQ的面积时，试求QE的长是多少厘米？
答案
解：（1）依题可得BP=t，CQ=2t，PC=t-2．
∵EC∥AB，
∴△PCE∽△PAB，
EC
4
=
t-2
t
，
∴EC=
4(t-2)
t
．
QE=QC-EC=2t-
4(t-2)
t
=
2(t2-2t+4)
t
．
作PF⊥l，垂足为F．则PF=PB·sin60°=
3
2
t
∴S=
1
2
QE·PF=
1
2
·
2(t2-2t+4)
t
·
3
2
t=
3
2
（t2-2t+4）（t＞2）．

（2）此时，C为PB中点，则t-2=2，∴t=4．
∴QE=
2(t2-2t+4)
t
=
2(42-2×4+4)
4
=6（厘米）．
解：（1）依题可得BP=t，CQ=2t，PC=t-2．
∵EC∥AB，
∴△PCE∽△PAB，
EC
4
=
t-2
t
，
∴EC=
4(t-2)
t
．
QE=QC-EC=2t-
4(t-2)
t
=
2(t2-2t+4)
t
．
作PF⊥l，垂足为F．则PF=PB·sin60°=
3
2
t
∴S=
1
2
QE·PF=
1
2
·
2(t2-2t+4)
t
·
3
2
t=
3
2
（t2-2t+4）（t＞2）．

（2）此时，C为PB中点，则t-2=2，∴t=4．
∴QE=
2(t2-2t+4)
t
=
2(42-2×4+4)
4
=6（厘米）．
考点梳理
解直角三角形；相似三角形的判定与性质．
（1）本题关键是得出S与t的函数关系式，那么求面积就要知道底边和高的长，我们可以QE为底边，过P引l的垂线作高，根据P的速度可以用t表示出BP，也就能用BP和∠1的正弦函数求出高，那么关键是求QE的长，我们可以根据Q的速度用时间t表示出CQ，那么只要求出CE即可．因为EC∥BA，那么我们可以用相似三角形的对应线段成比例来求CE的长，根据三角形PEC和PAB相似，可得出关于CE、AB、PC、BC的比例关系式，有BP、BC、AB的值，那么我们就可以用含t的式子表示出CE，也就表示出了QE，那么可根据三角形的面积公式得出关于S与t的函数关系式了．
（2）如果QE恰好平分三角形APQ的面积，那么此时P到CD和CD到l之间的距离就相等，那么C就是PB的中点，可根据BP=2BC求出t的值，然后根据（1）中得出的表示QE的式子，将t代入即可得出QE的值．
本题考查了相似三角形的性质以及解直角三角形的应用等知识点，根据相似三角形得出表示CE的式子是解题的关键所在．
压轴题．
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