试题

题目：
青果学院（2001·湖州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α．
（1）试写出α的四个三角函数值；
（2）若∠B=α，求BD的长？
答案
解：在Rt△ACD中，
∵AC=2，DC=1，
∴AD=
AC2-DC2
=
5
．
（1）sinα=
DC
AD
=
1
5
=
5
5
，cosα=
AC
AD
=
2
5
=
2
5
5
，tanα=
CD
AC
=
1
2
，cotα=
AC
CD
=2．

（2）∵∠B=α，∠C=90°，
∴△ABC∽△DAC．
∴
AC
BC
=
DC
AC
．
∴BC=
AC2
DC
=4．
∴BD=BC-CD=4-1=3．
解：在Rt△ACD中，
∵AC=2，DC=1，
∴AD=
AC2-DC2
=
5
．
（1）sinα=
DC
AD
=
1
5
=
5
5
，cosα=
AC
AD
=
2
5
=
2
5
5
，tanα=
CD
AC
=
1
2
，cotα=
AC
CD
=2．

（2）∵∠B=α，∠C=90°，
∴△ABC∽△DAC．
∴
AC
BC
=
DC
AC
．
∴BC=
AC2
DC
=4．
∴BD=BC-CD=4-1=3．
考点梳理
解直角三角形．
（1）根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解．
（2）由∠B=α，∠C=90°，得△ABC∽△DAC．再根据相似三角形中对应边成比例求解
考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质和相似三角形的性质，进行逻辑推理能力和运算能力．
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