试题

题目：
青果学院（2013·平谷区一模）已知：如图，四边形ABCD中，∠A=90°，∠D=120°，E是AD上一点，∠BED=135°，BE=2
2
，DC=2
3
，DE=2-
3
．求：
（1）点C到直线AD的距离；
（2）线段BC的长．
答案
青果学院解：（1）如图，过点C作CF⊥AD于F．
∵四边形ABCD中，∠ADC=120°，
∴∠CDF=60°．
在Rt△CDF中，∵∠CFD=90°，∠CDF=60°，DC=2
3
，
∴CF=CD·sin∠CDF=3，DF=CD·cos∠CDF=
3
．
即点C到直线AD的距离为3；

青果学院（2）如图，过点A作AG∥BC，交CF于G，则四边形ABCG是平行四边形，
∴CG=AB，BC=AG．
在Rt△ABE中，∵∠BAE=90°，∠AEB=45°，BE=2
2
，
∴AB=AE=2，
∴FG=CF-AB=3-2=1．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=90°，FG=1，AF=AE+DE+DF=2+2-
3
+
3
=4，
∴AG=
AF2+FG2
=
17
，
∴BC=AG=
17
．
青果学院解：（1）如图，过点C作CF⊥AD于F．
∵四边形ABCD中，∠ADC=120°，
∴∠CDF=60°．
在Rt△CDF中，∵∠CFD=90°，∠CDF=60°，DC=2
3
，
∴CF=CD·sin∠CDF=3，DF=CD·cos∠CDF=
3
．
即点C到直线AD的距离为3；

青果学院（2）如图，过点A作AG∥BC，交CF于G，则四边形ABCG是平行四边形，
∴CG=AB，BC=AG．
在Rt△ABE中，∵∠BAE=90°，∠AEB=45°，BE=2
2
，
∴AB=AE=2，
∴FG=CF-AB=3-2=1．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=90°，FG=1，AF=AE+DE+DF=2+2-
3
+
3
=4，
∴AG=
AF2+FG2
=
17
，
∴BC=AG=
17
．
考点梳理
解直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．
（1）过点C作CF⊥AD于F，则点C到直线AD的距离为CF的长度，解Rt△CDF，由∠CFD=90°，∠CDF=60°，DC=2
3
，即可求出CF=CD·sin∠CDF=3，则点C到直线AD的距离为3；
（2）过点A作AG∥BC，交CF于G，则四边形ABCG是平行四边形，CG=AB，BC=AG，再解Rt△ABE，求出AB=AE=2，那么FG=CF-AB=1，然后在Rt△AFG，运用勾股定理求出AG的长度，则BC=AG．
本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质，勾股定理，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．
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