试题

（2013·宝山区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF=5，∠B的正切值为

1

2

（1）求证：△BDF∽△DCF；
（2）求BC的长．

（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°
∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴∠B=∠FDC，
又∵∠F=∠F，
∴△BDF∽△DCF；

（2）解：设DE=x，则AC=2DE=2x，DF=DE+EF=x+5．
∵△BDF∽△DCF，
∴

DF

BF

=

CF

DF

=

DC

BD

=tan∠B=

1

2

，
∴BF=2DF=2（x+5），CF=

1

2

DF=

1

2

（x+5），
∴BC=BF-CF=

3

2

（x+5），
在直角△ABC中，∵tan∠B=

AC

BC

=

1

2

，
∴BC=2AC，即

3

2

（x+5）=2×2x，
解得x=3
∴BC=

3

2

（3+5）=12．
（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴DE=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠ACB=90°，∠BDC=90°
∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠ECD=∠B，
∴∠B=∠FDC，
又∵∠F=∠F，
∴△BDF∽△DCF；

（2）解：设DE=x，则AC=2DE=2x，DF=DE+EF=x+5．
∵△BDF∽△DCF，
∴

DF

BF

=

CF

DF

=

DC

BD

=tan∠B=

1

2

，
∴BF=2DF=2（x+5），CF=

1

2

DF=

1

2

（x+5），
∴BC=BF-CF=

3

2

（x+5），
在直角△ABC中，∵tan∠B=

AC

BC

=

1

2

，
∴BC=2AC，即

3

2

（x+5）=2×2x，
解得x=3
∴BC=

3

2

（3+5）=12．