试题

题目：
青果学院（2012·雨花台区一模）如图，矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．翻折矩形纸片，使点A与点C重合，折痕分别交AB、CD于点E、F，
（1）在图中，用尺规作折痕EF所在的直线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求线段EF的长．
答案
青果学院解：（1）如图：

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，BC=AD．
∵在Rt△ABC中，AB=4，AD=2
∴由勾股定理得：AC=
AB2+BC2
=2
5
，
设EF与AC相交于点O，
由翻折可得：AO=CO=
1
2
AC=
5
，∠AOE=90°．
∵在Rt△ABC中，tan∠1=
BC
AB
=
2
4
=
1
2
，
在Rt△AOE中，tan∠1=
EO
AO
=
1
2
．
∴EO=
5
2
．
同理：FO=
5
2
．
∴EF=EO+FO=
5
．
青果学院解：（1）如图：

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，BC=AD．
∵在Rt△ABC中，AB=4，AD=2
∴由勾股定理得：AC=
AB2+BC2
=2
5
，
设EF与AC相交于点O，
由翻折可得：AO=CO=
1
2
AC=
5
，∠AOE=90°．
∵在Rt△ABC中，tan∠1=
BC
AB
=
2
4
=
1
2
，
在Rt△AOE中，tan∠1=
EO
AO
=
1
2
．
∴EO=
5
2
．
同理：FO=
5
2
．
∴EF=EO+FO=
5
．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）；作图—复杂作图；解直角三角形．
（1）根据题意，作出AC的垂直平分线，即是折痕EF所在的直线；
（2）由四边形ABCD是矩形，即可得∠B=90°，BC=AD．由勾股定理，可求得AC的长，由折叠的性质，可求得OA与OC的长，然后分别在Rt△ABC中与Rt△AOE中，利用∠1的正切，即可求得EO的长，同理可得FO的长，继而求得答案．
此题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
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