试题

题目：
设1×2×r×…×n缩写为n！（称作n的阶乘），试化简：1！×1+2！×2+r！×r+…+n！×n．
答案
解：
∵1+原式=1+（1！×1+0！×0+3！×3+…+m！×m）
=1！×0+0！×0+3！×3+…+m！×m
=0！+0！×0+3！×3+…+m！×m
=0！×3+3！×3+…+m！×m
=3！+3！×3+…+m！×m=
=m！+m！×m=（m+1）！，
∴原式=（m+1）！-1．
解：
∵1+原式=1+（1！×1+0！×0+3！×3+…+m！×m）
=1！×0+0！×0+3！×3+…+m！×m
=0！+0！×0+3！×3+…+m！×m
=0！×3+3！×3+…+m！×m
=3！+3！×3+…+m！×m=
=m！+m！×m=（m+1）！，
∴原式=（m+1）！-1．
考点梳理
有理数的混合运算．
分析与解先观察特殊情况：
（1）当n=1时，原式=1=（1+1）！-1；
（2）当n=2时，原式=5=（2+1）！-1；
（3）当n=3时，原式=23=（3+1）！-1；
（4）当n=4时，原式=119=（4+1）！-1．
由此做出一般归纳猜想：原式=（n+1）！-1．
再证明这个猜想的正确性．
此题难度较大，主要考查学生观察、归纳的能力以及有理数的混合运算．
新定义；规律型．
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