试题

题目：
观察下列等式
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，将以上三个等式两边分别相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并写出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2012×2013
=
2012
2013
2012
2013
；
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
．
（3）探究并计算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2012×2014
．
答案
1
n
-
1
n+1

2012
2013

n
n+1

解：（1）
1
n
-
1
n+1
；

（2）①原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2012
-
1
2013
=1-
1
2013
=
2012
2013
；

②原式═1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
=
n
n+1
；

（3）原式=
1
4
（
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
1006×1007
）
=
1
4
（1-
1
1007
）
=
503
2014
．
故答案为
1
n
-
1
n+1
；
2012
2013
；
n
n+1
．
考点梳理
有理数的混合运算．
（1）观察得到分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，即
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；
（2）①由（1）的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；
②由（1）的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；
（3）先提
1
4
出来，然后和前面的运算方法一样．
本题考查了关于数字变化的规律：通过观察数字之间的变化规律，得到一般性的结论，再利用此结论解决问题．
规律型．
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