试题

题目：
阅读下面的文字，完成后面的问题．
我们知道，
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，那么
1
4×5
=
1
4
-
1
5
1
4
-
1
5
，
1
2005×2006
=
1
2005
-
1
2006
1
2005
-
1
2006
．
（1）用含有n的式子表示你发现的规律
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
；
（2）依上述方法将计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
2003×2005
=
1002
2005
1002
2005

（3）如果n，k均为正整数，那么
1
n(n+k)
=
1
k
（1-
1
n+1
）
1
k
（1-
1
n+1
）
．
答案
1
4
-
1
5

1
2005
-
1
2006

1
n
-
1
n+1

1002
2005

1
k
（1-
1
n+1
）

解：∵第一个式子：
1
1×2
=1-
1
2
；
第二个式子：
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
第三个式字：
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
…
∴
1
4×5
=
1
4
-
1
5
，
1
2005×2006
=
1
2005
-
1
2006
．
故答案为：
1
4
-
1
5
，
1
2005
-
1
2006
；

（1）由以上得出的规律可知，第n个等式的规律
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；

（2）原式=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
4
…+
1
2003
-
1
2005
）
=
1
2
（1-
1
2005
）
=
1002
2005


（3）由（2）可知n，k均为正整数，
1
k
·(
1
n
-
1
n+k
)．
考点梳理
有理数的混合运算．
观察发现，每一个等式的左边都是一个分数，其中分子是1，分母是连续的两个正整数之积，并且如果是第n个等式，分母中的第一个因数就是n，第二个因数是n+1；等式的右边是两个分数的差，这两个分数的分子都是1，分母是连续的两个正整数，并且是第n个等式，被减数的分母就是n，减数的分母是n+1．然后把n=4，n=2005代入即可得出第5个等式；
（1）先将（1）中发现的第n个等式的规律
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
代入，再计算即可；
（2）先类比（1）的规律，得出
1
n(n+2)
=
1
2
（
1
n
-
1
n+1
），再计算即可．
（3）根据（2）的规律即可得出结论．
本题考查了规律型：数字的变化，得出
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，
1
n(n+k)
=
1
k
（1-
1
n+1
）以及抵消法的运用是解题的关键．
规律型．
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