试题

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D为AB的中点，将一直角△DEF纸片平放在△ACB所在的平面上，且使直角顶点重合于点D（C始终在△DEF内部），设纸片的两直角边分别与AC、BC相交于M、N．
（1）如图1，当∠A=∠NDB=45°，则CN+CM等于；
（2）探索，如图2，当∠A=45°，∠NDB≠45°时，则CN+CM的值是否与（1）相同？说明理由．

解：（1）连CD，如图，
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=

2

2

AB=2

2

，
而D点为斜边的中点，
∴CD=DA，∠DCB=

1

2

∠ACB=45°，∠CDA=90°
∵∠MDN=90°，
∴∠CDA-∠CDM=∠MDN-∠CDM，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中，

∠A=∠DCN AD=CD ∠ADM=∠CDN

，
∴△ADM≌△CDN，
∴AM=CN，
∴CM+CN=CM+AM=AC=2

2

．

（2）CN+CM的值仍然等于2

2

．理由如下：
连CD，如图2，
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=

2

2

AB=2

2

，
而D点为斜边的中点，
∴CD=DA，∠DCB=

1

2

∠ACB=45°，∠CDA=90°
∵∠MDN=90°，
∴∠CDA-∠CDM=∠MDN-∠CDM，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中，

∠A=∠DCN AD=CD ∠ADM=∠CDN

，
∴△ADM≌△CDN，
∴AM=CN，
∴CM+CN=CM+AM=AC=2

2

．