试题

已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若CD⊥BD于D点，且BD交AC于E点，问当BD满足什么条件时，CD=

1

2

BE？并证明你的判断．

解：当BD是∠ABC的平分线时，CD=

1

2

BE，
理由是：延长BA和CD交于F，
∵∠BAC=90°，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠FAC=90°=∠BDC，
∵∠AEB=∠DEC，
根据三角形的内角和定理得：∠ABE=∠FCA，
在△ABE和△ACF中

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF，
∴CF=BE，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠FDB=∠CDB，
在△FDB和△CDB中

∠FBD=∠CBD BD=BD ∠FDB=∠CDB

，
∴△FDB≌△CDB，
∴CD=DF=

1

2

CF=

1

2

BE，
即当BD是∠ABC的平分线时，CD=

1

2

BE．
解：当BD是∠ABC的平分线时，CD=

1

2

BE，
理由是：延长BA和CD交于F，
∵∠BAC=90°，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠FAC=90°=∠BDC，
∵∠AEB=∠DEC，
根据三角形的内角和定理得：∠ABE=∠FCA，
在△ABE和△ACF中

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF，
∴CF=BE，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠FDB=∠CDB，
在△FDB和△CDB中

∠FBD=∠CBD BD=BD ∠FDB=∠CDB

，
∴△FDB≌△CDB，
∴CD=DF=

1

2

CF=

1

2

BE，
即当BD是∠ABC的平分线时，CD=

1

2

BE．