试题

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在△ABC的外部，且AD⊥BD，AD交BC于点E，连接CD，过点C作CG⊥CD，交AD于点G．
（1）若CG=4，求DG的长；
（2）若CG=BD，求证：AB=AC+CE．

（1）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，∠AEC=∠BED，
∴∠CAD=∠DBE，
∵CG⊥CD，
∴∠GCD=90°，
∴∠GCD-∠GCE=∠ACB-∠GCE，
∴∠ACG=∠BCD，
∵在△AGC和△BCD中

∠ACG=∠BCD AC=BC ∠CAD=∠CBD

∴△AGC≌△BCD（ASA），
∴CD=CG，
∴△CDG为等腰直角三角形，
∴DG=

2

CG=4

2

；

（2）证明：延长EC到F使CF=CE，如图，
∵△AGC≌△BCD，
∴AG=BD，
∵CG=BD，
∴AG=CG，
∴∠GAC=∠GCA，
∵△CDG为等腰直角三角形，
∴∠CGD=45°，
∴∠GAC=22.5°，
∵AC⊥BC，CF=CE，
∴△AEF为等腰三角形，
∴∠FAC=∠EAC=22.5°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∵∠CAB=45°，∠ABC=45°，
∴∠FAB=22.5°+45°=67.5°，
∴∠F=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠F=∠FAB，
∴AB=BF，
而BF=BC+CF=AC+CE，
∴AB=AC+CE．
（1）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，∠AEC=∠BED，
∴∠CAD=∠DBE，
∵CG⊥CD，
∴∠GCD=90°，
∴∠GCD-∠GCE=∠ACB-∠GCE，
∴∠ACG=∠BCD，
∵在△AGC和△BCD中

∠ACG=∠BCD AC=BC ∠CAD=∠CBD

∴△AGC≌△BCD（ASA），
∴CD=CG，
∴△CDG为等腰直角三角形，
∴DG=

2

CG=4

2

；

（2）证明：延长EC到F使CF=CE，如图，
∵△AGC≌△BCD，
∴AG=BD，
∵CG=BD，
∴AG=CG，
∴∠GAC=∠GCA，
∵△CDG为等腰直角三角形，
∴∠CGD=45°，
∴∠GAC=22.5°，
∵AC⊥BC，CF=CE，
∴△AEF为等腰三角形，
∴∠FAC=∠EAC=22.5°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∵∠CAB=45°，∠ABC=45°，
∴∠FAB=22.5°+45°=67.5°，
∴∠F=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠F=∠FAB，
∴AB=BF，
而BF=BC+CF=AC+CE，
∴AB=AC+CE．