试题

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10厘米，OC=6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒．
（1）设点Q的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t秒，
①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；
②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．
（2）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△OCP∽△PAQ∽CBQ？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）①先设两点运动的时间是t时，△CPQ面积最小．
S_△CPQ=S_梯形QCOA-S_△COP-S_△APQ=

1

2

（AQ+OC）×OA-

1

2

AP·AQ-

1

2

OC·OP
=

1

2

（0.5t+6）×10-

1

2

×0.5t×（10-t）-

1

2

×6×t
=

1

4

（t-6）²+21
∵a=

1

4

＞0，
∴当t=6时，S_△CPQ有最小值，
那么AQ=0.5t=0.5×6=3，
∴Q点的坐标是（10，3）．
②△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP两种情况：
（i）当△COP∽△PAQ时：
∴

AQ

AP

=

OP

OC

，
∴

0.5t

10-t

=

t

6

，
即t²-7t=0，
解得，t₁=0（不合题意，舍去），t₂=7．
∴t=7，
∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5．
∴Q点的坐标是（10，3.5）．

（ii）当△COP∽△QAP时：

OP

OC

=

AP

AQ

，
∴

t

6

=

10-t

0.5t

，
即t²+12t-120=0
解得：t₁=-6+2

39

，t₂=-6-2

39

（不合题意，舍去）
∴AQ=0.5t=-3+

39

．
∴Q点的坐标是（10，-3+

39

）；

（2）∵△COP∽△PAQ∽△CBQ，
∴

OP OC = AQ AP OP OC = BQ BC

，
即

t 6 = at 10-t t 6 = 6-at 10

，
解得，t₁=2，t₂=18，
又∵0＜t＜10，
∴t=2．代入任何一个式子，可求a=

4

3

．
∴AQ=at=

8

3

∴Q点的坐标是（10，

8

3

）．
解：（1）①先设两点运动的时间是t时，△CPQ面积最小．
S_△CPQ=S_梯形QCOA-S_△COP-S_△APQ=

1

2

（AQ+OC）×OA-

1

2

AP·AQ-

1

2

OC·OP
=

1

2

（0.5t+6）×10-

1

2

×0.5t×（10-t）-

1

2

×6×t
=

1

4

（t-6）²+21
∵a=

1

4

＞0，
∴当t=6时，S_△CPQ有最小值，
那么AQ=0.5t=0.5×6=3，
∴Q点的坐标是（10，3）．
②△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP两种情况：
（i）当△COP∽△PAQ时：
∴

AQ

AP

=

OP

OC

，
∴

0.5t

10-t

=

t

6

，
即t²-7t=0，
解得，t₁=0（不合题意，舍去），t₂=7．
∴t=7，
∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5．
∴Q点的坐标是（10，3.5）．

（ii）当△COP∽△QAP时：

OP

OC

=

AP

AQ

，
∴

t

6

=

10-t

0.5t

，
即t²+12t-120=0
解得：t₁=-6+2

39

，t₂=-6-2

39

（不合题意，舍去）
∴AQ=0.5t=-3+

39

．
∴Q点的坐标是（10，-3+

39

）；

（2）∵△COP∽△PAQ∽△CBQ，
∴

OP OC = AQ AP OP OC = BQ BC

，
即

t 6 = at 10-t t 6 = 6-at 10

，
解得，t₁=2，t₂=18，
又∵0＜t＜10，
∴t=2．代入任何一个式子，可求a=

4

3

．
∴AQ=at=

8

3

∴Q点的坐标是（10，

8

3

）．