试题

（2010·枣庄）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，点B的坐标为（m，-2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．

解：（1）过A作AE垂直x轴，垂足为E，
∵tan∠AOC=

1

3

，
∴OE=3AE
∵OA=

10

，OE²+AE²=10，
∴AE=1，OE=3
∴点A的坐标为（3，1）．
∵A点在双曲线上，
∴1=

k

3

，
∴k=3．
∴双曲线的解析式为y=

3

x

．

（2）∵点B（m，-2）在双曲线y=

3

x

上，
∴-2=

3

m

，
∴m=-

3

2

．
∴点B的坐标为（-

3

2

，-2）．
∴

3a+b=1 - 3 2 a+b=-2

，∴

a= 2 3 b=-1

∴一次函数的解析式为y=

2

3

x-1．

（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，
∵C，D两点在直线y=

2

3

x-1上，
∴C，D的坐标分别是：C（

3

2

，0），D（0，-1）．
即：OC=

3

2

，OD=1，
∴DC=

13

2

．
∵△PDC∽△CDO，
∴

PD

DC

=

DC

OD

，
∴PD=

DC2

OD

=

13

4

又OP=DP-OD=

13

4

-1=

9

4

∴P点坐标为（0，

9

4

）．
解：（1）过A作AE垂直x轴，垂足为E，
∵tan∠AOC=

1

3

，
∴OE=3AE
∵OA=

10

，OE²+AE²=10，
∴AE=1，OE=3
∴点A的坐标为（3，1）．
∵A点在双曲线上，
∴1=

k

3

，
∴k=3．
∴双曲线的解析式为y=

3

x

．

（2）∵点B（m，-2）在双曲线y=

3

x

上，
∴-2=

3

m

，
∴m=-

3

2

．
∴点B的坐标为（-

3

2

，-2）．
∴

3a+b=1 - 3 2 a+b=-2

，∴

a= 2 3 b=-1

∴一次函数的解析式为y=

2

3

x-1．

（3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P，
∵C，D两点在直线y=

2

3

x-1上，
∴C，D的坐标分别是：C（

3

2

，0），D（0，-1）．
即：OC=

3

2

，OD=1，
∴DC=

13

2

．
∵△PDC∽△CDO，
∴

PD

DC

=

DC

OD

，
∴PD=

DC2

OD

=

13

4

又OP=DP-OD=

13

4

-1=

9

4

∴P点坐标为（0，

9

4

）．