试题

（2009·浙江）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当x=0时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；
（2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；
（3）令EF²=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式．当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由．温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

解：（1）当x=0时，折痕EF=AB=3，当点E与点A重合时，折痕EF=

1+1

=

2

．

（2）1≤x≤3．
当x=2时，如图，连接PE、PF．
∵EF为折痕，
∴DE=PE，
令PE为m，则AE=2-m，DE=m，
在Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²
∴1+（2-m）²=m²，解得m=

5

4

；
此时菱形边长为

5

4

．

（3）如图2，过E作EH⊥BC；
∵△EFH∽△DPA，
∴

FH

EH

=

AP

AD

，
∴FH=3x；
∴y=EF²=EH²+FH²=9+9x²；
当F与点C重合时，如图3，连接PF；

∵PF=DF=3，
∴PB=

32-12

=2

2

，
∴0≤x≤3-2

2

；
∵函数y=9+9x²的值在y轴的右侧随x的增大而增大，
∴当x=3-2

2

时，y有最大值，
此时∠EPF=90°，△EAP∽△PBF．
综上所述，当y取最大值时△EAP∽△PBF，x=3-2

2

．