试题

题目：
青果学院已知，△ABC中，∠C=90°，G是三角形的重心，AB=8，
求：①线段GC的长；
②过点G的直线MN∥AB，交AC于M，BC于N，求MN的长．
答案
青果学院解：（1）连接CG交AB于点D，
∵G是三角形的重心，
∴CD为AB边上的中线，DG=
1
3
CD，CG=
2
3
CD
又∵∠C=90°
∴CD=
1
2
AB=4，CG=
2
3
CD=
8
3


（2）∵MN∥AB
∴∠CMN=∠A，∠CNM=∠B
∴△CMN∽△CAB
同理可证△CMG∽△CAD
∴
MN
AB
=
MC
AC
=
CG
CD
=
2
3

即MN=
2
3
AB=
16
3

青果学院解：（1）连接CG交AB于点D，
∵G是三角形的重心，
∴CD为AB边上的中线，DG=
1
3
CD，CG=
2
3
CD
又∵∠C=90°
∴CD=
1
2
AB=4，CG=
2
3
CD=
8
3


（2）∵MN∥AB
∴∠CMN=∠A，∠CNM=∠B
∴△CMN∽△CAB
同理可证△CMG∽△CAD
∴
MN
AB
=
MC
AC
=
CG
CD
=
2
3

即MN=
2
3
AB=
16
3
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的重心．
（1）根据三角形重心的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解；
（2）由MN∥AB易得△CMN∽△CAB，同理可证△CMG∽△CAD，即有
MN
AB
=
MC
AC
=
CG
CD
=
2
3
，即可求MN的长．
（1）考查了三角形重心和直角三角形的性质；
（2）考查了相似三角形的判定和性质．
几何综合题．
找相似题