试题

（2007·温州）在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，并且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设△EDQ的面积为y（cm²），求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当x为何值时，△EDQ为直角三角形？

解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，
∴AD=5，
∵EP∥DC，
∴△AEP∽△ADC
∴

EA

AD

=

AP

AC

，
即

EA

5

=

x

4

，
∴EA=

5

4

x，
DE=5-

5

4

x；

（2）∵BC=5，CD=3，
∴BD=2，
当点Q在BD上运动x秒后，DQ=2-1.25x，
则y=

1

2

×DQ×CP=

1

2

（4-x）（2-1.25x）=

5

8

x²-

7

2

x+4，
即y与x的函数解析式为：y=

5

8

x²-

7

2

x+4，
其中自变量的取值范围是：0＜x＜1.6；

（3）分两种情况讨论：
①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-x，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴

EQ

AC

=

DQ

DC

，
即

4-x

4

=

1.25x-2

3

，
解得x=2.5
②当∠QED=90°时，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴

ED

CD

=

DQ

DA

，即

5(4-x)

12

=

1.25x-2

5

，
解得x=3.1．
综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形．
解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，
∴AD=5，
∵EP∥DC，
∴△AEP∽△ADC
∴

EA

AD

=

AP

AC

，
即

EA

5

=

x

4

，
∴EA=

5

4

x，
DE=5-

5

4

x；

（2）∵BC=5，CD=3，
∴BD=2，
当点Q在BD上运动x秒后，DQ=2-1.25x，
则y=

1

2

×DQ×CP=

1

2

（4-x）（2-1.25x）=

5

8

x²-

7

2

x+4，
即y与x的函数解析式为：y=

5

8

x²-

7

2

x+4，
其中自变量的取值范围是：0＜x＜1.6；

（3）分两种情况讨论：
①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-x，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴

EQ

AC

=

DQ

DC

，
即

4-x

4

=

1.25x-2

3

，
解得x=2.5
②当∠QED=90°时，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴

ED

CD

=

DQ

DA

，即

5(4-x)

12

=

1.25x-2

5

，
解得x=3.1．
综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形．