试题

题目：
青果学院如图，在直角坐标系中，△AOB是Rt△，∠AOB=30°，∠A=90°，OB=12，点P在OA上，且OP=4
3
，过P点作直线截△AOB的两边，使截得的三角形与△AOB相似，那么满足这样的条件的直线的解析式为
x=6，y=2
3
，y=-
3
x+8
3
x=6，y=2
3
，y=-
3
x+8
3
．
答案
x=6，y=2
3
，y=-
3
x+8
3

解：过P点作PC⊥x轴，垂足为C，作PD∥AB交x轴于点D，
青果学院
在Rt△OPC中，OP=4
3
，∠AOB=30°，
∴OC=6，PC=2
3
，即P（6，2
3
）
同理，在Rt△OPD中，OD=8，即D（8，0）
设直线PD解析式为y=kx+b，
则
6k+b=2
3
8k+b=0
解得
k=-
3
b=8
3

∴y=-
3
x+8
3
，
∴满足条件的直线的解析式为：x=6或者y=2
3
或者y=-
3
x+8
3
；
当直线如图c位置时，同理可求得：y=-
3
3
x+4
3
．
故满足条件的直线的解析式为：x=6或者y=2
3
或者y=-
3
x+8
3
或y=-
3
3
x+4
3
．
考点梳理
待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质．
当过P点的直线平行于x轴，平行于y轴，平行于直线AB时，都能使截得的三角形与△AOB相似，根据OP=4
3
，∠AOB=30°，求出P点坐标，再求出过P点且满足条件的直线解析式．
本题考查了相似三角形的判断方法，直线解析式的求法，分类讨论的思想．
压轴题．
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