试题

（2010·西城区二模）在平面直角坐标系中，将直线l：y=-

3

4

x-

3

2

沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线C₁：y=

2

3

x2沿x轴平移，得到一条新抛物线C₂与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若线段DF∥x轴，求抛物线C₂的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m的解析式．

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将直线y=-

3

4

x-

3

2

与x轴、y轴交点分别为（-2，0），（0，-

3

2

），
沿x轴翻折，则直线y=-

3

4

x-

3

2

、直线AB与x轴交于同一点（-2，0），
∴A（-2，0），
与y轴的交点（0，-

3

2

）与点B关于x轴对称，
∴B（0，

3

2

），
∴

-2k+b=0 b= 3 2

，
解得k=

3

4

，b=

3

2

，
∴直线AB的解析式为y=

3

4

x+

3

2

；

（2）设平移后的抛物线C₂的顶点为P（h，0），

则抛物线C₂解析式为：y=

2

3

(x-h)2=

2

3

x2-

4

3

hx+

2

3

h2，
∴D（0，

2

3

h2），
∵DF∥x轴，
∴点F（2h，

2

3

h2），
又点F在直线AB上，
∴

2

3

h2=

3

4

·(2h)+

3

2

，
解得h₁=3，h2=

-3

4

，
∴抛物线C₂的解析式为y=

2

3

(x-3)2=

2

3

x2-4x+6或y=

2

3

x2+x+

3

8

；

（3）过M作MT⊥FH于T，MP交FH于N

∴Rt△MTF∽Rt△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
设FT=3k，TM=4k，FM=5k．
则FN=

1

2

(AH+HF+AF)-FM=16-5k，
∴S△MNF=

1

2

FN·MT=

(16-5k)4k

2

．
∵S△AFH=

1

2

FH·AG=

1

2

×12×8=48，
又S△MNF=

1

2

S△AFH．
∴

(16-5k)4k

2

=24．
解得k=

6

5

或k=2（舍去）．
∴FM=6，FT=

18

5

，MT=

24

5

，GN=4，TG=

12

5

．
∴M（

6

5

，

12

5

）、N（6，-4）．
∴直线MN的解析式为：y=-

4

3

x+4．
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将直线y=-

3

4

x-

3

2

与x轴、y轴交点分别为（-2，0），（0，-

3

2

），
沿x轴翻折，则直线y=-

3

4

x-

3

2

、直线AB与x轴交于同一点（-2，0），
∴A（-2，0），
与y轴的交点（0，-

3

2

）与点B关于x轴对称，
∴B（0，

3

2

），
∴

-2k+b=0 b= 3 2

，
解得k=

3

4

，b=

3

2

，
∴直线AB的解析式为y=

3

4

x+

3

2

；

（2）设平移后的抛物线C₂的顶点为P（h，0），

则抛物线C₂解析式为：y=

2

3

(x-h)2=

2

3

x2-

4

3

hx+

2

3

h2，
∴D（0，

2

3

h2），
∵DF∥x轴，
∴点F（2h，

2

3

h2），
又点F在直线AB上，
∴

2

3

h2=

3

4

·(2h)+

3

2

，
解得h₁=3，h2=

-3

4

，
∴抛物线C₂的解析式为y=

2

3

(x-3)2=

2

3

x2-4x+6或y=

2

3

x2+x+

3

8

；

（3）过M作MT⊥FH于T，MP交FH于N

∴Rt△MTF∽Rt△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
设FT=3k，TM=4k，FM=5k．
则FN=

1

2

(AH+HF+AF)-FM=16-5k，
∴S△MNF=

1

2

FN·MT=

(16-5k)4k

2

．
∵S△AFH=

1

2

FH·AG=

1

2

×12×8=48，
又S△MNF=

1

2

S△AFH．
∴

(16-5k)4k

2

=24．
解得k=

6

5

或k=2（舍去）．
∴FM=6，FT=

18

5

，MT=

24

5

，GN=4，TG=

12

5

．
∴M（

6

5

，

12

5

）、N（6，-4）．
∴直线MN的解析式为：y=-

4

3

x+4．